Rođen je 11. novembra 1918. godine u Priboju kod Lopara, Bosna i Hercegovina. Odrastao je u Priboju i Bijeljini, gdje je završio osnovnu školu i gimnaziju. 1938/39. upisao se na Pravni fakultet u Beogradu, kao van red m student.

Veselin Gavrić je jedan od onih mladih ljudi koji su se od rane mladosti tijesno vezali za revolucionarni radnički pokret i poklonili mu cio svoj život. Još kao srednjoškolac, i kasnije student, bio je politički aktivan, naročito u radu s đačkom, radničkom i seljačkom omladinom u Semberiji.

Pripadao je onoj generaciji bijeljinskih studenata koja je sazrijevala posljednjih godina pred rat, radoznala, uzbuđena, željna da se marksistički obrazuje, spremna da primi teško breme koje je nudila istorija, i uhvati se u koštac s mračnim silama fašizma i izdaje.

Veso je bio jedan od najaktivnijih iz te generacije koja je odlučno stala na stranu revolucionarnog radničkog pokreta, stavljajući mu na raspolaganje svu energiju svoje mladosti. Zajedno sa svojim drugovima, žurio je da u uzburkane mase unosi misao revolucije, da u redovima bijeljinskih đaka, radnika-zanatlija i siromašnih seljaka pridobije nove pristalice za ideje Marxa i Lenjina. I sam je neumorno radio na ličnom marksističkom obrazovanju. On je odavao čovjeka koji je našao pravi put. Neumorno je i sistematski održavao veze s mladom generacijom bijeljinskih gimnazijalaca, za koje je bio nesumnjiv autoritet U radu Omladinskog recitativnog hora učvršćivao je svoja stara poznanstva u redovima radničke omladine i zasnivao nova, pronalazio i učvršćivao veze sa selom i seljacima.

Cijeli svoj lični život Gavrić je posvetio interesima revolucije. Član KPJ postao je 1939. godine. Jedan je od komunista čiji je rad pred rat mnogo značio za uspješno ostvarivanje politike KPJ i njenu primjenu u praksi. Poštovali su ga i voljeli svi oni koji su s njim surađivali.

Poslije kapitulacije Kraljevine Jugoslavije, zajedno s drugovima aktivno je radio na pripremanju općenarodnog ustanka protiv okupatora u Semberiji. Veso se hrabro uhvatio u koštac sa svim zadacima partijskog rada: dizao klonuli duh naroda, budio borbena raspoloženja, demaskirao politiku okupatora i njegovih suradnika, objašnjavao ciljeve za koje se zalaže i bori KPJ, ukratko: radio sve ono što je u to vrijeme bila generalna linija KPJ. I najsloženije i odgovorne poslove obavljao je mirno i sabrano, uvjeren do kraja u ono za što se bori.

Augusta 1941. Gavrić je među prvim borcima — komunistima koji počinju oružane akcije u Semberiji. On učestvuje u sječenju telefonsko-telegrafskih linija, ometanju saobraćaja, napadu na oružničke postaje i drugim akcijama.

Pod pritiskom nadmoćnijih neprijateljskih snaga, Semberijska četa — u kojoj se nalazi i Veselin Gavrić — prebacuje se, sredinom septembra, u Mačvu. U vrijeme operacija udruženih njemačko-kvislinških snaga na slobodnu teritoriju u zapadnoj Srbiji, posebno u Pocerini, na padinama planine Vidojevice, u ogorčenoj borbi koju njegova četa vodi Veso se ističe postojanošću i junaštvom. Iz semberijske čete gine više drugova, među kojima i Veselinov brat Branko Gavrić. Poslije niza borbi, Četa se, u oktobru prebacila u Bosnu, i preko vlasenice i Šekovića stigla na Majevicu i uključila u sastav Majevičkog NOP odreda.

Gavrić nije odmah došao na Majevicu, jer je bio bolestan i zadržan u partizanskoj bolnici. Poslije ozdravljenja, bio je pokretač niza akcija na političkom i kulturno-prosvjetnom planu u Šekovićima. Postaje organizator i duša partijskog rada i masovnog idejno-političkog djelovanja u narodu i omladini, te stiče veliku popularnost među borcima i u narodu Birča.

Ipak je želio da se što prije domogne svoje Majevice i Semberije. Februara 1942. godine pošao je, s grupom kurira, na Majevicu. Uhvaćen na prijevaru zajedno s ostalim drugovima, pao je u ruke Četnicima. Nije se ni trenutka kolebao. Vjeran sebi, i jednom zauvijek opredijeljen, donio je odluku. S prezirom je slušao ponude četničkih oficira, koji su na sve načine težili da ga pridobiju ili slome, jer je i na Majevici i u Semberiji uživao veliki ugled. Veselin je sve prijedloge odbio. Kasnije nije htio ni da razgovara sa četnicima. Bio je siguran da će njegova smrt dati novi doprinos revoluciji — najviši i najvrjedniji koji njezin borac uopće može da joj da! Poslije zvjerskog mučenja, ubijen je u kraju u kome se i rodio, od ruke ljudi koji su izdali svoj narod u najtežem vremenu.

Narodnim herojem proglašen je 27. novembra 1953. godine.