Rođen je 1900. godine u Lipniku kod Gacka, Bosna i Hercegovina. Do rata se bavio zemljoradnjom. Kada su, 7. juna 1941. ustaše krenule u selo Lipnik da tamo nastave pokolj srpskog stanovništva, seljaci su ih, pod komandom Košte Bjelogrlića, i uz pomoć seljaka iz okolnih sela, odbili, a zatim zauzeli oružničku kasarnu u Jaseniku. Dvadeset šestog juna održan je zbor ustanika u Dramešini, na kome je odlučeno da se, prilikom napada na ustaško uporište, ne dozvoli pljačkanje i ubijanje nevinog i neboračkog muslimanskog stanovništva. U Lipničkoj ustaničkoj grupi, Kosta Bjelogrlić se energično zalagao za poštovanje ovih zaključaka i davao otpor njihovom kršenju. To mu je vrlo brzo donijelo, pored vojničkog, i politički ugled. Njegovo dosljedno provođenje programa narodnooslobodilačke borbe doprinijelo je stvaranju partizanskih uporišta u selima gatačkog sreza.

Drugog novembra 1941. godine, na zboru ustanika u selu Ulinju, formiran je štab Gatačkog partizanskog bataljona, u čijem je sastavu bilo Šest partizanskih četa. Za komandanta bataljona izabran je Kosta.

U talijansko - četničkoj ofanzivi, maja 1942. godine, neprijatelj je napao sela Lipnik i Samobor, u namjeri da se probije preko Golije prema Nikšiću, U borbi koja je trajala cijelog dana, Košta Bjelogrlić je sa svojim bataljonom uspio da potisne Talijane i da ih natjera u bijeg. Tada su zarobljena tri teška mitraljeza, radio-stanica, nekoliko automata i drugi materijal.

U junu 1942. formiran je Hercegovački partizanski odred, od boraca koji su se povukli iz Hercegovine ispred četničko-talijanske ofanzive. Košta je postavljen za komandanta njegovog 1. bataljona, s kojim je ušao u sastav 10. hercegovačke udarne brigade. Na ovoj dužnosti učestvovao je u borbama na Kupresu, Posušju, Rakitnom, kod Gornjeg Vakufa, na Vranići i drugim mjestima. U petoj neprijateljskoj ofanzivi, maja i juna 1943. godine, učestvovao je u akcijama 10. hercegovačke brigade protiv neprijatelja. Već oronulog zdravlja, Kosta je, poslije dolaska partizanskih jedinica iz Bosne u Hercegovinu, postavljen za komandanta mjesta u Avtovcu, i izabran za člana Sreskog komiteta Partije za gatački srez, a kasnije i za prvog predsjednika Sreskog narodnooslobodilačkog odbora. Na toj dužnosti je ostao do oslobođenja zemlje.

Poslije oslobođenja, bio je član Oblasnog narodnooslobodilačkog odbora za Hercegovinu, ali je ubrzo, 1946. godine, umro u Mostaru.

Narodnim herojem proglašen je 24. jula 1953. godine.