Rođen je 17. marta 1916. godine u selu Gornji Sjeničak, Vrginmost, Hrvatska. Potječe iz veoma siromašne seljačke porodice. Imao je teško djetinjstvo. Zbog siromaštva nije mogao završiti ni osnovnu školu, jer je morao čuvati stoku u drugim selima, kod imućnijih ljudi. Pored čuvanja stoke, obavljao je i teške fizičke poslove. Poslije odsluženja vojnog roka, radi izvjesno vrijeme kao radnik na ciglani, ali ubrzo, zbog naprednih ideja, biva zatvoren i otpušten s posla. Odlazi iz svog kraja i zapošljava se u tuzlanskoj solani, gdje kao član URS-ovih sindikata učestvuje u akcijama naprednih radnika. Tu je 1940. primljen za člana KPJ.

Poslije kapitulacije vraća se u rodni kraj. Već u maju povezuje se s partijskom organizacijom svoga sela. Aktivno učestvuje, u sjevernom dijelu Korduna, u pripremama oružanog ustanka. Miloš se nalazi u prvoj grupi ustanika, i u septembru 1941. komandir je partizanskog odreda "Sjeničak", koji djeluje na području Udbina—Sjeničak, prema Skakavcu, Kovačevcu, Lasinji, Karlovcu i Vrginmostu. U januaru 1942, Kljajić je komandir 3. čete 4. kordunaškog bataljona. U februaru završava prvi oficirski kurs, partizansko-oficirsku školu u Gornjem Sudačkom, na Kordunu. Tada je postavljen za komandira čete 1. udarnog bataljona 1. KPO. Godine 1943, komandant je 4. bataljona 1. kordunaške brigade, zatim zamjenik komandanta i komandant iste brigade 8. kordunaške udarne divizije. Već u prvim akcijama bio je neustrašiv borac i voljen starješina. Posebnu snalažljivost i junaštvo ispoljio je u borbi s ustašama i domobranima, decembra 1941, i januara 1942. godine. Jurišao je hrabri komandir na čelu 3. čete, s puškomitraljezom u rukama, na ustaše, žandare i domobrane, koji su pod vodstvom svog poglavnika Ante Pavelića došli da pale i pljačkaju srpska sela sjevernog dijela Korduna i ubijaju u njima sve što je živo. U žestokim borbama uspjelo je partizanima zaštititi 15.000 žena, djece i staraca, i osigurati im put u Petrovu goru.

Kljajić vodi borbe u Žumberku, Sloveniji, Lici, Gorskom kotaru i na Kordunu. Ljeti 1942. ističe se u borbi za Jastrebarsko, i u spašavanju više od 700 srpske djece s Kozare, Korduna i Banije iz ustaškog logora. U borbama u Sloveniji Miloš je teško ranjen, ali poslije ozdravljenja ponovo dolazi u svoju jedinicu, i drugi put odlazi na Žumberak, gdje u januaru

1943. vodi žestoku bitku s više od devet stotina ustaša u utvrđenju Krašić. Neustrašivi komandant 4. bataljona sprečavao je, na putu Draganić—Krašić, napade neprijateljskih ten kova i jakih pješadijskih snaga koje su išle u pomoć opkoljenom ustaškom garnizonu u Krašić. lako ranjen, ostao je na položaju, i u najkritičnijoj situaciji bodrio svoje borce. S izabranim bombašima jurišao je Kljajić na tenkove. Ustaše se nisu uspjele izvući iz okruženja.

U ogorčenoj borbi, utvrđenje je palo, i u njemu zarobljeno 200 ustaša a više od 300 ubijeno.

Kljajić se ističe i u napadu na četnike i Talijane u Lici, na Brlogu, zbog čega su on i njegov bataljon pohvaljeni od štaba divizije. Polovinom 1943, on je već proslavljeni borac i komandant na Kordunu, Pokuplju, Žumberku, Lici i Gorskom kotaru. Posebno se ističe u borbi s kombiniranim i jakim ustaškim, četničkim i talijanskim snagama na Cerovniku.

Zahvaljujući njegovoj vještini u organiziranju protunapada, neprijatelj je razbijen. U januaru

1944, s 4. bataljonom uništio je jako ustaško-domobransko utvrđenje s 300 vojnika, na Globorničkom mostu, na pruzi između Gornjih i Donjih Dubrava. Sredinom juna iste godine, Kljajić u ulozi komandanta 1. kordunaške brigade treći put odlazi na Žumberak, gdje vodi

neprekidne borbe s Čerkezima, ustašama i domobranima. Na putu za Žumberak, prešavši Kupu, Kljajićeva brigada uništava neprijateljsko uporište Buševac, i vodi uspješne borbe u Blatnici i Rečici kraj Karlovca.

Od 27. juna, petnaest dana Kljajić je vodio neprekidne borbe s jakim njemačko-ustaškim snagama u Žumberku. Tridesetog juna bio je s brigadom napadnut na cijelom frontu. Poslije višesatne obrambene borbe, prešao je s brigadom u napad na čelu streljačkog stroja, s članovima svoga štaba. Borci su upadali u njemačke rovove i natjerali neprijatelja na povlačenje. Kad je brigada ponovo izgubila svoje položaje na liniji Prekrižje — Konjarić vrh, hrabri komandant nije posustao. Obilazio je bataljone, puzio do rovova, da bi ocijenio mora li se odstupati.

Četrnaestog jula 1944, u najžešćoj borbi pogođen je, kod Kodrića, njemačkim rafalom. Sahranjen je uz vojne i narodne počasti na visovima Žumberka, u selu Radatovići, i njegov grob postao je simbol bratske borbe srpskog, hrvatskog i slovenačkog naroda u ovom kraju.

Četvrti bataljon 1. brigade 8. udarne kordunaške divizije nosio je, do kraja rata, ime Miloša Kljajića.

Narodnim herojem proglašen je 6. decembra 1944. godine.