Rođen je 2. maja 1913. godine u Tremušnjaku kod Petrinje, Hrvatska. Kao trinaestogodišnji dječak, u nemogućnosti da se školuje, došao je u Kikindu na učenje postolarskog zanata. U jesen 1931. zaposlio se u Beogradu.

Tu je vrlo rano počeo revolucionarnu djelatnost u Ujedinjenom radničkom sindikalnom savezu Jugoslavije. Na njegovo revolucionarno sazrijevanje utjecali su stariji revolucionari, partijski aktivisti u Beogradu: Nikola Grulović, Miloš Matijević, Bora Marković... Godine 1936. primljen je u Komunističku partiju Jugoslavije, a godinu dana kasnije član je Okružnog komiteta KPJ za beogradski okrug. Zapažen je kao organizator više radničkih štrajkova, a naročito se angažirao u radu sindikata kožarsko-prerađivački h radnika. Na godišnjoj skupštini sindikalne podružnice kožaraca u Beogradu, 20. februara 1938, izabran je za člana njezine uprave. U maju iste godine, poslije neuspjelih pregovora s poslodavcima koji su odbili da potpišu kolektivni ugovor, on govori na zboru obućarskih radnika i poziva ih da stupe u štrajk. Zahvaljujući Fićinoj upornosti, koji je iz dana u dan, unatoč prijetnjama poslodavaca, bodrio štrajkaše da izdrže do kraja, štrajk je dvanaestog dana okončan pobjedom radnika.

Djelujući istodobno i u sindikatima i u partijskim organizacijama, Fića ne zaboravlja ni rad s omladinom. Prema sjećanju njegovih suboraca, on je bio jedan od inicijatora masovnih izleta omladine i starijih radnika na Topčider i Košutnjak, zbog čega je 1938. kažnjen s dva mjeseca zatvora. Uprava grada Beograda njegovo je hapšenje obrazložila kao preventivu — da bi se spriječile eventualne demonstracije u vrijeme Mačekove posjete Beogradu. U drugoj polovici 1938, Kljajić je dobio izgon u svoje rodno mjesto. Ta ga je policijska mjera prisilila da prede u ilegalnost i da se više okrene radu u pokrajini. Pokrajinski komitet KPJ za Srbiju šalje ga tada u Niš, kao instruktora. Tu je ostao sve do 1940. Učvrstivši partijsku organizaciju, u novembru 1939. organizira masovne demonstracije prilikom dolaska Mačeka i Cvetkovića u Niš. Istog mjeseca organizira i štrajk obućarskih radnika, koji su ga već u julu izabrali za svog delegata za kongres kožaraca. U septembru 1940. postavljen je za sekretara Okružnog komiteta KPJ za Valjevo, gdje je opet zapažen kao organizator masovnih akcija. Poznati štrajk građevinskih radnika, koji su za mizernu nadnicu radili na izgradnji pruge Lajkovac— Valjevo, Fićino je djelo. On je 12. oktobra 1940. organizirao i zbor u Valjevu, i pred 3.000 radnika održao govor pozivajući ih na borbu do pobjede. Kad su policija i žandarmerija pokušali da rasture zbor i uhapse Fiću, radnici su ga svojim grudima štitili u otvorenoj bici na improviziranim barikadama. Tada je poginuo jedan, a teže ranjen drugi građevinski radnik i nekoliko žandara. Ni najsurovije torture koje su nad njim primjenjivane 1940. u beogradskoj Glavnjači nisu slomile prokušanog revolucionara.

Isprebijan, na rubu snage, prkosno je dobacivao zloglasnom agentu Vujkoviću: "Neću da kažem, ja sam komunist!"

Svoje bogato revolucionarno iskustvo Kljajić neprekidno obogaćuje i marksističko-lenjinističkim obrazovanjem. Početkom 1941, on je polaznik partijskog tečaja u Zagrebu, ali već potkraj februara izabran je za člana Okružnog komiteta KPJ za beogradski okrug.

Poslije aprilskog sloma stare Jugoslavije, kao član Vojnog komiteta pri Pokrajinskom komitetu KPJ za Srbiju, a zatim Glavnog štaba narodnooslobodilačkih partizanskih odreda Srbije, jedan je od organizatora ustanka u Srbiji. Sudjelovao je u prvim vatrenim okršajima: u napadu na Senjski rudnik, na Lajkovac, Svilajnac... U vrijeme neprijateljske ofanzive, Tito mu je osobno povjerio zadatak da organizira obranu na valjevskom sektoru. Obavljajući svoju dužnost, Fića je u toj borbi teško ranjen. Sudjelovao je na vojno-političkom savjetovanju u Stolicama, bio je prvi politički komesar 1. proleterske brigade, a od novembra 1942. politički komesar 1. proleterske divizije. Zajedno sa svojim proleterskim jedinicama, prošao je najteže bitke u Bosni, Crnoj Gori i Dalmaciji. Kao neustrašiv borac, dobar organizator i talentirani vojni i politički rukovodilac, Kljajić je bio omiljen medu borcima i u narodu. Znao je utješiti i ohrabriti, ali je uvijek dijelio slučajne propuste od svjesne nediscipline. Duboko human, očinski brižan prema svojim borcima, bio je istodobno nemilosrdan prema svakom pokušaju zloupotrebe povjerene dužnosti. Shvaćajući narodnooslobodilačku borbu i revoluciju kao jedinstven proces, u svakom je borcu gledao i graditelja novog, pravednijeg društvenog poretka, i svakom bi komunistu u svojim jedinicama uvijek govorio: "Koristi svakih pet minuta, priđi drugu, razgovaraj s njim i podiži ga." Tog se načela Fića i sam držao od prvih dana svoje revolucionarne djelatnosti, do svoje tragične pogibije.

Rodoljub Čolaković, jedan od bliskih Fićinih prijatelja i suboraca, u svojoj knjizi "Susreti i sjećanja" kaže: "Sreo sam u revoluciji nemalo ljudi koji su se isticali izuzetnim sposobnostima, vojničkim, političkim, organizatorskim, koji su se u njoj naglo rascvjetali u jarke, izrazite ličnosti, mada je vremenski rok njihove aktivnosti bio, avaj, ponekad vrlo kratak. Izginuli su u bitkama, pokošeni prije vremena, ali lik njihov ostao je blizak, nezaboravan ... Među takve ličnosti spada Filip Kljajić Fića...".

Poginuo je u Zvorniku, 5. jula 1943. godine.

Narodnim herojem proglašen je 25. septembra 1944. godine.